В пятом можно решать и через градиенты, но это то же самое, что удалять зубы через задний проход. Все неравенства и целевая функция линейные, так что можно сделать все гораздо проще.
Метод для школьников и неняш - графический. Так как переменных всего две, для его использования не нужно мыслить в четырех измерениях, Марти.
Спойлер
Строим, собственно, систему координат. Так как по условию x и y неотрицательные, можно ограничиться рассмотрением одной четверти графика.
Представляем, что вместо ограничений-неравенств даны равенства, и рисуем их на графике (красная и синяя линии). Каждое ограничение делит пространство решений на две части, в одной из которых неравенство выполняется (плоскости красного и синего цвета соответственно), а в другой нет. Проверить это просто: берем произвольную точку, например, (0, 0), и подставляем эти значения переменных в неравенство. Если оно выполняется, закрашивать нужно ту сторону от линии, в которую попала эта точка. Нам нужна область, в которой выполняются все неравенства (фиолетовая), она называется областью допустимых решений. Об остальной части графика можно забыть.
Теперь нам нужно найти точку в области допустимых решений, где значение целевой функции z максимально. Вообще говоря, более сложные методы решения основываются на аксиоме, говорящей о том, что решение будет находиться в одном из углом области допустимых решений, но это несущественно. А мы просто будем подставлять вместо z разные константы и смотреть, что выйдет.
Сперва подставим, к примеру, 8. У нас получится уравнение, решением которого является линия желтого цвета. На этой линии функция будет принимать значение 8.
Теперь подставим 10. Получаем зеленую линию, которая, заметим параллельна желтой. Во всех точках ее функция принимает значение 10.
Нетрудно заметить, что 10 > 8, а функция z линейная. Следовательно, двигаясь в направлении от желтой линии к зеленой, мы получаем все большее и большее значение z. Линия, отвечающая за максимальное значение z, будет параллельна желтой и зеленой. Мысленно начинаем сдвигать зеленую линию в сторону роста z, пока не достигнем крайней точки области допустимых решений (3, 0) - оранжевой линии. В этой точке функция z и будет принимать максимальное значение, равное 16.
Метод, которым стоит решать задачи линейной оптимизации - симплекс-метод. Он несколько сложнее и иногда более громоздкий, зато позволяет оптимизировать функции в тридцатимерных пространствах с дробными коэффициентами. Однако для задач вроде этой пойдет и графический.
